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sinx的n次方的计算公式

用分部积分法cosx的n次方推导方法相同详细过程如图

(sinx)^3=3sinx(cosx)^2-sin3x sin3x=3sinx(cosx)^2-(sinx)^3

=(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*…*4/5*2/3,当n为奇数; =(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*…*3/4*1/2*π/2,当n为偶数 cosx积分就是sinx,sinx积分就是-cosx,一点点算就能算出来

归约公式(Reduction Formula)

∫sin^naxdx=-(1/na)sin^(n-1)axcosax+[(n-1)/n]∫sin^(n-1)axdx(n为正整数)

若n为奇数,则用d(cosx)凑微分,被积函数可化为关于cosx的函数, 若n为偶数,则被积函数为((sinx)^2)^(n/2), 用倍角公式(sinx)^2=(1-cos2x)/2以及积化和差公式化成几项相加的形式, 然后逐项积分

当 n=2k+1 (k为自然数) 时,周期为2π;当 n=2k (k为自然数) 时,周期为π.举例计算如下:f(x)=(sinx)^3=sinx(sinx)^2=(1/2)sinx(1-cos2x),sinx 周期为2π,cos2x 周期为π,则 f(x) 周期为2π;g(x)=(sinx)^4=(1/4)[2(sinx)^2]^2=(1/4)(1-cos2x)^2=(1/4)[1-2cos2x+(cos2x)^2]=(1/4)[1-2cos2x+1/2+(cos4x)/2]=(1/4)[3/2-2cos2x+(cos4x)/2] cos2x 周期为π,cos4x 周期为π/2,则 g(x) 周期为π.如法炮制即可.

(sinx)^n=sin[(x+π)]^n=(-sinx)^n n分奇偶数

[(sinx)^n]'=n[(sinx)^(n-1)]cosx=ncotx(sinx)^n[(cosx)^n]'=n[(cosx)^(n-1)](-sinx)=-ntanx(cosx)^n

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